O Fenômeno da Matemática
Euclides começou
seu trabalho educacional na
“Universidade de Alexandria”(Museu).
Logo, tornando-se
Diretor de Matemática (300 a.C.), onde escreveu e ensinou Os Elementos e
outros livros.
O toque de gênio de Euclides está principalmente
na organização lógica com que apresentou e provou, lacunas deixadas por outros
matemáticos. Desta forma compreende-se o significado de seu nome “Boa Glória”.
O ovo e Galinha …
• O
que veio antes, o ovo ou a galinha?.
• Considerando
a galinha nasceu do ovo e o ovo foi colocado pela galinha, é difícil determinar
o responsável pela criação original.
• De
acordo com a teoria da evolução, a resposta do paradoxo, é que o ovo veio
primeiro. Deve-se considerar que o ancestral da galinha (ainda não é uma) botou
o ovo com a mutação que resultaria a moderna galinha. Esta por sua vez, apenas
perpetuou essas mutações.
• AXIOMA:
As espécies sempre evoluem por mutações.
• Segundo
a teoria criacionista, a galinha veio antes, criada por Deus no início dos
tempos.
• AXIOMA:
Deus criou todos os seres vivos.
Os Elementos
Obra mais antiga em vigor, (perdendo para a Bíblia em
números de edições) e o mais influente livro matemático de todos os tempos,
contendo 13 livros.
Outros Livros _ Tratados
Falácias
(pseudaria), Dados, Sobre Divisões (de figuras),
Porismos, Superfícies que são Lugares Geométricos, Cônicas, Fenômenos,
Óptica e Elementos de Música.
Teoria Axiomática
• Axiomas: frases matemáticas que são
supostas verdadeiras sem nenhuma justificativa.
• EX: Na teoria dos números naturais, temos
os seguintes axiomas:
•
Todo
número natural n possui um sucessor n’
• Não existe um número cujo sucessor seja 0
• Se n≠m então n’≠m’
• Se 0 tem uma propriedade e esta propriedade também é possuida pelo sucessor de todos os números naturais que a possuem, então ela é possuída por todos os números naturais
Axiomas de Peano
• Não existe um número cujo sucessor seja 0
• Se n≠m então n’≠m’
• Se 0 tem uma propriedade e esta propriedade também é possuida pelo sucessor de todos os números naturais que a possuem, então ela é possuída por todos os números naturais
Axiomas de Peano
Teoria Matemática
A partir dos axiomas + regras
lógicas, deduz-se os resultados matemáticos.
Geometria
Convidado por Ptolomeu I para compor o quadro de
professores da recém fundada Academia, que tornaria Alexandria no centro do
saber da época, tornou-se o mais importante autor de matemática da Antiguidade
greco-romana e talvez de todos os tempos, com seu monumental Stoichia (Os
elementos, 300 a.C.), no estilo livro de texto, uma obra em 13 volumes, sendo:
cinco sobre geometria plana,
três sobre números,
um sobre a teoria das proporções,
um sobre incomensuráveis e os
três
últimos sobre geometria no espaço
• Escrita em grego, a obra cobria toda a
aritmética, a álgebra e a geometria conhecidas até então no mundo grego,
reunindo o trabalho de seus predecessores, como Hipócrates e Eudóxio, e
sistematizava todo o conhecimento geométrico dos antigos e intercalava os
teoremas já conhecidos então com a demonstração de muitos outros, que
completavam lacunas e davam coerência e encadeamento lógico ao sistema por ele
criado.
Os Elementos
Um fragmento dos Elementos encontrado no final do século XIX em Oxyrhynchus, datado de cerca de 100 D.C. 
Um fragmento dos Elementos
encontrado no final do século XIX em
Oxyrhynchus, datado de cerca de 100 D.C.
O frontispício de uma tradução latina de Adelardo de Bath dos Elementos de Euclides, c. 1309–1316; a tradução latina mais antiga sobrevivente dos Elementos é um trabalho de Adelardo no século XII, que o traduziu do árabe.
Convidado por
Ptolomeu I para compor o quadro de professores da recém fundada Academia, que
tornaria Alexandria no centro do saber da época, tornou-se o mais importante
autor de matemática da Antiguidade greco-romana e talvez de todos os tempos,
com seu monumental Stoichia (Os elementos, 300 a.C.), no estilo
livro de texto, uma obra em treze volumes, sendo
cinco sobre geometria plana,
três sobre números,
um sobre a teoria das proporções,
um sobre incomensuráveis e os
três últimos sobre geometria no espaço.
• Escrita em grego, a obra cobria toda a
aritmética, a álgebra e a geometria conhecidas até então no mundo grego,
reunindo o trabalho de seus predecessores, como Hipócrates e Eudóxio, e
sistematizava todo o conhecimento geométrico dos antigos e intercalava os
teoremas já conhecidos então com a demonstração de muitos outros, que
completavam lacunas e davam coerência e encadeamento lógico ao sistema por ele
criado.
Conclusão
Os Elementos de
Euclides não só constituem a mais antiga obra
matemática, como também a mais influente de todos os tempos.
"Se o valor
de um trabalho científico pode ser medido pelo tempo durante o qual ele mantém
a sua importância, então os Elementos de Euclides são a obra científica mais
válida de todos os tempos.“
Borsuk e Szmielew (1960)
ARQUIMEDES DE SIRACUSA
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Arquimedes nasceu em
287 a.C., em Siracusa, na Sicília, que nessa época fazia parte da Grécia.
Estudou matemática em Alexandria e provavelmente conheceu Euclides. Durante
toda sua vida dedicou-se tanto à Matemática quanto à Física e à
engenharia.
Conhecida como
"sacudidora de navios", a garra consistia em um braço de guindaste a
partir do qual pendia um grande gancho de metal. Quando a garra caia sobre um
navio inimigo, o braço era usado para balançar e levantar o navio para fora da
água. Experimentos modernos foram realizados para testar a viabilidade da
garra, e em 2005 foi construída uma versão da garra e concluiu que era um
dispositivo viável.
A esfera tem
um volume que é dois terços do volume do cilindro circunscrito. De forma
similar, a esfera tem uma área que é dois terços da área do cilindro
circunscrito (incluindo as bases). Ou seja, em uma esfera e um
cilindro circunscrito de mesma altura e diâmetro, o volume é 4⁄3πr3 para
a esfera, e 2πr3 para o cilindro. A área superficial é
4πr2 para a esfera, e 6πr2 para o
cilindro (incluindo suas duas bases), onde r é o raio da
esfera e do cilindro. A pedido do
próprio Arquimedes foram colocadas sobre sua tumba esculturas destas duas
figuras geométricas.
A Alavanca
"Deem-me um ponto de apoio e moverei a Terra."
Com base nesse conhecimento, Arquimedes desvendou um
mistério sobre a coroa do rei de Siracusa. Diz a história que Herão, rei de
Siracusa, contratou um artesão para fabricar sua coroa com ouro maciço. Ao ser
contratado, o rei ofereceu uma bela quantia em dinheiro e forneceu o ouro a ser
utilizado na coroa. Após alguns dias, o artesão entregou ao rei, a sua tão
desejada coroa. Herão recebeu a coroa, mas desconfiou se o artesão teria usado
todo o ouro que recebera. Para ter certeza, pediu que utilizassem uma balança
no intuito de registrar a massa da coroa. Feito o procedimento, verificou-se
que a massa da coroa era igual àquela do ouro fornecido pelo rei.
Grande parte
do trabalho de Arquimedes em engenharia surgiu para satisfazer as necessidades
de sua cidade natal, Siracusa. O escritor grego Ateneu de Náucratis descreveu
como o Rei Hierão II encarregou Arquimedes de projetar um grande barco, o
Siracusia, que poderia ser utilizado para viagens de luxo, transporte de
suprimentos, e como um navio de guerra.
É dito que o Siracusia foi o maior
barco construído na Antiguidade Clássica.29 De acordo com Ateneu, ele era capaz
de carregar 600 pessoas e nele havia jardins decorativos, um gymnasion e um
templo dedicado à deusa Afrodite, dentre outras instalações.
Uma vez que um navio desse tamanho deixaria passar uma quantidade considerável de água através do casco, o parafuso de Arquimedes foi supostamente inventado para remover água da sentina.
A máquina de Arquimedes consistia em um parafuso giratório dentro de um cilindro. Era girada a mão, e também podia ser usada para transportar água de um corpo de água baixo até canais de irrigação. O parafuso de Arquimedes é ainda usado hoje para bombear líquidos e sólidos granulados como carvão e cereais. O parafuso de Arquimedes tal como descrito por Vitrúvio nos tempos romanos pode ter sido uma melhoria em uma bomba de parafuso que foi usada para irrigar os Jardins Suspensos da Babilônia.
Catapultas e Guindastes
Dentre seus mais
famosos livros podemos citar: Equilíbrios Planos, onde fundamentou a lei da
alavanca, deduzindo-a por meio de poucos postulados, determinou o centro de
gravidade de paralelogramos, trapézios, retângulos e de um segmento de
parábola; Sobre a Esfera e o Cilindro, aqui Arquimedes utilizou um método
conhecido como exaustão, precedente do cálculo integral, para determinar a
superfície de uma esfera e para estabelecer a relação entre uma esfera e o
cilindro circunscrito nela.
A Garra de Arquimedes
Conhecida como
"sacudidora de navios", a garra consistia em um braço de guindaste a
partir do qual pendia um grande gancho de metal. Quando a garra caia sobre um
navio inimigo, o braço era usado para balançar e levantar o navio para fora da
água. Experimentos modernos foram realizados para testar a viabilidade da
garra, e em 2005 foi construída uma versão da garra e concluiu que era um
dispositivo viável.A esfera tem
um volume que é dois terços do volume do cilindro circunscrito. De forma
similar, a esfera tem uma área que é dois terços da área do cilindro
circunscrito (incluindo as bases). Ou seja, em uma esfera e um
cilindro circunscrito de mesma altura e diâmetro, o volume é 4⁄3πr3 para
a esfera, e 2πr3 para o cilindro. A área superficial é
4πr2 para a esfera, e 6πr2 para o
cilindro (incluindo suas duas bases), onde r é o raio da
esfera e do cilindro. A pedido do
próprio Arquimedes foram colocadas sobre sua tumba esculturas destas duas
figuras geométricas.
As últimas palavras
atribuídas a Arquimedes são "Não perturbe meus círculos" (em grego:
μή μου τούς κύκλους τάραττε), uma referência aos círculos no desenho matemático
que ele estaria estudando quando perturbado pelo soldado romano. Esta citação é
muitas vezes dada em Latim como "Noli turbare circulos meos," mas não
há nenhuma evidência confiável de que Arquimedes pronunciou estas palavras e
elas não aparecem no relato dado por Plutarco.
Raio Solar de Arquimedes
Luciano de Samósata, escritor do século II, escreveu que
durante o Cerco a Siracusa (c. 214–212 a.C.), Arquimedes destruiu navios
inimigos com fogo. Séculos depois, Antêmio de Trales menciona espelhos ustórios
como a arma utilizada por Arquimedes. O dispositivo, algumas vezes chamado de
"raio de calor de Arquimedes" ou "raio solar de
Arquimedes", teria sido usado para concentrar a luz solar em navios que se
aproximavam, levando-os a pegar fogo.
A Alavanca
Apesar de Arquimedes não ter inventado a alavanca,
ele deu uma explicação do princípio envolvido em sua obra Sobre o
Equilíbrio dos Planos.
"Deem-me um ponto de apoio e moverei a Terra."
A
coroa de ouro
Com base nesse conhecimento, Arquimedes desvendou um
mistério sobre a coroa do rei de Siracusa. Diz a história que Herão, rei de
Siracusa, contratou um artesão para fabricar sua coroa com ouro maciço. Ao ser
contratado, o rei ofereceu uma bela quantia em dinheiro e forneceu o ouro a ser
utilizado na coroa. Após alguns dias, o artesão entregou ao rei, a sua tão
desejada coroa. Herão recebeu a coroa, mas desconfiou se o artesão teria usado
todo o ouro que recebera. Para ter certeza, pediu que utilizassem uma balança
no intuito de registrar a massa da coroa. Feito o procedimento, verificou-se
que a massa da coroa era igual àquela do ouro fornecido pelo rei.
A confirmação da igualdade das massas não convenceu o
rei, que ainda desconfiava do artesão em relação à mistura de prata com o ouro.
Diante do impasse e sem conhecimento adequado para desvendar o mistério, Herão
contratou Arquimedes e incumbiu-lhe de descobrir a verdade sobre o fato.
Arquimedes dedicou-se exclusivamente ao pedido do rei, mas não conseguia
estabelecer uma forma de verificar a ocorrência ou não da fraude.
Certo dia, quando se preparava para o banho, encheu a
banheira de água e, ao adentrá-la verificou que certa quantidade de água
transbordava. Em virtude dessa observação, ele concluiu que teria como verificar
a dúvida do rei. Empolgado com a possível descoberta, saiu correndo pelas ruas
em direção ao palácio real, gritando: Eureka! Eureka!, que em grego significa
“descobri”.
Arquimedes encheu um balde de água e realizou os
seguintes procedimentos:
Mergulhou a coroa no balde e verificou a quantidade de
água que transbordava. Com a mesma quantidade de água no balde, mergulhou uma
barra de ouro com a mesma massa da coroa e posteriormente, também mergulhou uma
barra de prata com a mesma massa. Ao final do procedimento, verificou que a
coroa ao ser mergulhada, transbordou mais água que o ouro e menos água que a
prata. Dessa forma, Arquimedes concluiu que a coroa fora fabricada com a
mistura entre ouro e prata.
Esse transbordamento maior de água na imersão da prata,
identifica que a densidade da prata é menor que a do ouro. Portanto, se a
densidade do ouro é maior, ele possui menor volume em relação à prata, ocupando
menos espaço no balde com água. No caso da coroa, verificou-se que a densidade
ficou entre a do ouro e a da prata, confirmando a mistura em sua composição.
O PARAFUSO DE ARQUIMEDES
A máquina de
Arquimedes consistia em um parafuso giratório dentro de um cilindro. Era girada
a mão, e também podia ser usada para transportar água de um corpo de água baixo
até canais de irrigação.
Grande parte
do trabalho de Arquimedes em engenharia surgiu para satisfazer as necessidades
de sua cidade natal, Siracusa. O escritor grego Ateneu de Náucratis descreveu
como o Rei Hierão II encarregou Arquimedes de projetar um grande barco, o
Siracusia, que poderia ser utilizado para viagens de luxo, transporte de
suprimentos, e como um navio de guerra. 
É dito que o Siracusia foi o maior
barco construído na Antiguidade Clássica.29 De acordo com Ateneu, ele era capaz
de carregar 600 pessoas e nele havia jardins decorativos, um gymnasion e um
templo dedicado à deusa Afrodite, dentre outras instalações. Uma vez que um navio desse tamanho deixaria passar uma quantidade considerável de água através do casco, o parafuso de Arquimedes foi supostamente inventado para remover água da sentina.
A máquina de Arquimedes consistia em um parafuso giratório dentro de um cilindro. Era girada a mão, e também podia ser usada para transportar água de um corpo de água baixo até canais de irrigação. O parafuso de Arquimedes é ainda usado hoje para bombear líquidos e sólidos granulados como carvão e cereais. O parafuso de Arquimedes tal como descrito por Vitrúvio nos tempos romanos pode ter sido uma melhoria em uma bomba de parafuso que foi usada para irrigar os Jardins Suspensos da Babilônia.
Catapultas e Guindastes
Arquimedes viveu a maior parte de sua vida de forma
solitária, quieta e trivial. Mas no final do século 3 a.C., as disputas
geopolíticas no Mediterrâneo entre a Magna Grécia, o Império Romano e Cartago o
forçaram a ocupar uma posição pública. Aos 70 anos de idade ele ficou
encarregado da defesa de Siracusa. Construiu catapultas e guindastes, além de
outras armas.
A sua Morte
Arquimedes nos escritos de sua época, dada a reputação
quase sem par que ele ganhou neste período. Curiosamente a razão para isso não
era um interesse generalizado em Matemática, mas sim nas máquinas que inventou
para serem usadas na guerra. Estas armas foram particularmente eficientes na
defesa de Siracusa contra os Romanos, liderados por Marcelo.
Fermat
Aos outros, parecia que a vida de Fermat era sossegada e sem
acontecimentos de maior, Nascido em Beaumont-de-Lomage, França, em Agosto de
1601, Fermat era tímido e reservado. O pai era mercador de peles. A família da
mãe gabava-se de ter um número elevado de advogados no serviço público. Fermat
seguiu esta ocupação, Ascendeu ao posto de conselheiro do rei no parlamento de
Toulouse e desempenhou a sua função com grande capacidade e integridade durante
17 anos, até à sua morte em 12 de Janeiro de 1665.
A vocação
de Fermat pode ter sido a lei e o serviço público, mas a sua paixão era a
matemática. Apesar de Fermat e Descartes terem inventado a geometria analítica
independentemente um do outro, Fermat foi consideravelmente mais longe que
Descartes, ao introduzir os eixos perpendiculares e ao formular equações para
retas, circunferências, parábolas e hipérboles.
Cálculo
A resolução de determinados problemas, que só foi
possível com a criação do cálculo, veio aumentar de uma forma significativa o
poder da Matemática.
O cálculo
foi descoberto no século XVII como consequência da procura de soluções para
problemas relacionados com o movimento.
A álgebra e
a trigonometria eram usadas para resolver problemas do movimento de objetos que
se deslocavam a velocidades constantes ao longo de trajetos circulares ou
lineares.
O cálculo surge pela necessidade de calcular como varia a velocidade
do móvel ou no caso do trajeto do móvel ser irregular. Assim, o conceito de
derivada aparece ligado a velocidades e acelerações.
Newton
Newton, por sua vez, é considerado o pai da física moderna e serviu de influência para cientistas como Albert Einstein. Isaac Newton morreu há 286 anos, no dia 20 de março de 1727.
Newton descobriu a lei da gravitação universal
- relatada no famoso "episódio da
maça", quando ele teria observado a queda da fruta (ou, em outras histórias,
sido atingido na cabeça por ela) e então começasse a investigar a força da
gravidade.
A
descoberta seguinte seria consequência das tangentes e Newton a batizou de
fluxos, conhecido hoje como o Cálculo Diferencial. Newton percebeu logo em
seguida que a integração de uma função era simplesmente a operação inversa da
diferenciação. Essa descoberta levaria ao Cálculo Integral e está intimamente
relacionada com o hoje em dia denominado Teorema Fundamental do Cálculo.
Suas descobertas foram publicadas no livro Princípios Matemáticos da Filosofia Natural, de 1687, que, além da gravitação universal, também descreveu as três leis de Newton: inércia, dinâmica, ação e reação, conceitos fundamentais na física moderna.
1º Lei de Newton: Inércia
"Todo
corpo permanece em seu estado de repouso, ou de movimento uniforme em linha
reta, a menos que seja obrigado a mudar seu estado por forças impressas
nele"
2º Lei de Newton: A Força
"A
mudança do movimento é proporcional à força motriz impressa e se faz segundo a
linha reta pela qual se imprime essa força"
3º Lei de Newton: Princípio
da Ação e Reação
"A uma ação sempre se opõe uma reação igual, ou seja, as
ações de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e se dirigem a partes
contrárias"
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